Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P在圓 上，過(guò)P作y軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)M在射線NP上，滿足．

（1）求點(diǎn)M的軌跡G的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交軌跡G 于A，B兩點(diǎn)，交圓O于C，D兩點(diǎn)．若，求直線l的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)Q(3, t)(t∈R，t ≠ 0)，且，過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線m與OQ交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，求△OEF周長(zhǎng)最大時(shí)的直線m的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）或

【解析】

（1）設(shè)，，利用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移可得軌跡的方程．

（2）直線的斜率不存在時(shí)滿足，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程和圓的方程，利用結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算后可得直線方程．

（3）設(shè)，由及點(diǎn)在圓上可以得到，從而，因此為直角三角形，故當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)周長(zhǎng)最大，此時(shí)，故可求得直線的方程．

（1）設(shè)，，，由得，即．

∵在圓上，∴，∴為軌跡的方程．

（2）①直線的斜率不存在時(shí)，直線，由橢圓，圓的對(duì)稱(chēng)性，有， ∴合題意．

②直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線，，

由，∴即．

由得，∴，

由得，

∴，由，∴，

∴或，∴直線，．

綜上，直線的方程為：，，．

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由得．

又∵，∴， ①

直線與垂直，直線的斜率為，

直線的方程為，∴ ② ，

由①②得：，∴直線與軸交點(diǎn)為．

又∵，∴是以2為斜邊的直角三角形， ∴時(shí)，周長(zhǎng)最大，即是等腰直角三角形，，點(diǎn)坐標(biāo)為或，

∴直線的方程是或．