【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;

2)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;

3)當(dāng)時(shí),若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1;(2;(3.

【解析】

1)根據(jù)偶函數(shù)的定義,結(jié)合題意,得到,進(jìn)而可求出結(jié)果;

2)先由題意得到,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出單調(diào)減區(qū)間;

3)先由題意得到上恒成立,令,根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性,得出函數(shù)的最小值,只需即可求出結(jié)果.

1)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),

所以,即,即,因此;

2)因?yàn)?/span>,所以

因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為,開口向上;

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

又函數(shù)的對稱軸為,開口向上;

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;

因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:;

3)由題意,不等式可化為,

上恒成立,

,則只需即可;

因?yàn)?/span>,所以

因此,

當(dāng)時(shí),函數(shù)開口向上,對稱軸為:,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),函數(shù)開口向上,對稱軸為;

所以函數(shù)上單調(diào)遞增;

因此

,解得,

因?yàn)?/span>,所以.

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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