Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)

AP

=λ

PB

．
①當(dāng)λ=1時(shí)，求直線m的方程；
②當(dāng)△AOB的面積為4

2

時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求λ的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知|MF|=|y+2|-1利用兩點(diǎn)間的距離公式建立等式整理求得x和y的關(guān)系式，即M的軌跡方程．
（2）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，進(jìn)而設(shè)直線m的方程，代入拋物線的方程，整理后利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，①利用λ=1判斷出P是AB的中點(diǎn)，進(jìn)而求得k，則直線的方程可得．
②分別利用兩點(diǎn)間的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出|AB|和0到直線m的距離，表示出三角形的面積，根據(jù)面積為4

2

求得k，進(jìn)而利用k求得x₁x₂，進(jìn)而利用λ的表達(dá)式求得λ．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則由題設(shè)得|MF|=|y+2|-1，
即

x2+(y-1)2

=|y+2|-1
當(dāng)y≥-2時(shí)，

x2+(y-1)2

=y+1，化簡(jiǎn)得x²=4y；
當(dāng)y＜-2時(shí)，

x2+(y-1)2

=-y-3，
化簡(jiǎn)得x²=8y+8與y＜-3不合
故點(diǎn)M的軌跡C的方程是x²=4y
（2）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
設(shè)直線m的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y得x²-4kx+8（k-1）=0（☆）
△=16（k²-2k+2）＞0對(duì)k∈R恒成立，所以，直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1）
①由

AP

=λ

PB

，且λ=1得點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=4，則4k=4，得k=1
∴直線m的方程是x-y=0
②∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)2-4x2x1]

=4

(1+k2)(k2-2k+2)

點(diǎn)O到直線m的距離d=

|2-2k|

1+k2

，
∴S_△ABO=

1

2

|AB|•d=4|k-1|

k2-2k+2

=4

(k-1)4+(k-1)2

∵S_△ABO=4

2

，∴4

(k-1)4+(k-1)2

=4

2

，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，（k-1）²=1或（k-1）²=-2（舍去）
∴k=0或k=2
當(dāng)k=0時(shí)，方程（☆）的解為±2

2

若x₁=2

2

，x2=-2

2

，則λ=

2-2 2

-2 2 -1

=3-2

2

若x₁=-2

2

，x2=2

2

，則λ=

2+2 2

2 2 -2

=3+2

2

當(dāng)k=2時(shí)，方程（☆）的解為4±2

2

若x₁=4+2

2

，x2=4-2

2

，則λ=

-2-2 2

2-2 2

=3+2

2

若x₁=4-2

2

，x2=4+2

2

，則λ=

-2+2 2

2+2 2

=3-2

2

所以，λ=3+2

2

或λ=3-2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．涉及了圓錐曲線的基礎(chǔ)知識(shí)和平面幾何的知識(shí)，注重了基礎(chǔ)和能力的考查．