Question

如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)．
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴OE為△PAC的中位線，即有OE∥PA
又PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則平面BDE的一個(gè)法向量為=（1，﹣1，1），平面DEC的一個(gè)法向量為
=（2 ，0 ，0 ）
設(shè)二面角B ﹣DE ﹣C 的平面角為θ，
則cosθ===，
故二面角B﹣DE﹣C余弦值為．
（3）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），
∴·=0+2﹣2=0，∴PB⊥DE．
假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F，使PB⊥平面DEF，設(shè)=λ（0＜λ＜1），
則=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），
由·=0得4λ²+4λ²﹣2λ（2﹣2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），此時(shí)PF=PB，
即在棱PB上存在點(diǎn)F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．