Question

下列給出的四個(gè)命題中：
①已知數(shù)列{a_n}，那么對任意的n∈N^*，點(diǎn)P_n（n，a_n）都在直線y=2x+1上是{a_n}為等差數(shù)列的充分不必要條件；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，分別為A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），則x₁x₂-y₁y₂=0；
④在實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，則a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
其中為真命題的是

 

（寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

分析：①由點(diǎn)P_n（n，a_n）都在直線y=2x+1上得到a_n=2n+1，由通項(xiàng)公式知是充分，但反之等差數(shù)列很多，是不必要的．
②若“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”則有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0整理得（m+2）（2m-1）=0有兩個(gè)根．③令x=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化為：y²+Ey+F=0由韋達(dá)定理得y₁y₂=F；令y=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化為：x²+Dx+F=0由韋達(dá)定理得x₁x₂=F，從而有x₁x₂-y₁y₂=0；
④由“a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，”得數(shù)列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…從而得到結(jié)論．

解答：解：∵點(diǎn)P_n（n，a_n）都在直線y=2x+1上
∴a_n=2n+1
∴{a_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
所以是充分的
若{a_n}為等差數(shù)列，則公差不一定為2，首項(xiàng)也不一定為3
所以是不必要的
故①正確．
②若“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”
則有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0
∴（m+2）（2m-1）=0
∴m=-2或m=

1

2

故②不正確．
令x=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化為：y²+Ey+F=0
由韋達(dá)定理
y₁y₂=F
令y=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0化為：x²+Dx++F=0
由韋達(dá)定理
x₁x₂=F
∴x₁x₂-y₁y₂=0；
故③正確
由“a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…，|a_n|=|a_n-1-1|，”
可推知數(shù)列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…
∴a₁+a₂+a₃+a₄的最大值為2．
故④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)，方程及邏輯用語的綜合運(yùn)用，主要涉及了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，圓的方程及韋達(dá)定理和數(shù)列規(guī)律的探究．