Question

（文）斜率為1的直線過拋物線y²=4x的焦點，且與拋物線交于兩點A、B．
（1）求|AB|的值；
（2）將直線AB按向量平移得直線m，N是m上的動點，求的最小值．
（3）設(shè)C（2，0），D為拋物線y²=4x上一動點，證明：存在一條定直線l：x=a，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長為定值，并求出直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)，利用直線方程的點斜式寫出直線方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，再代入弦長公式，就可求出|AB|的值．
（2）利用向量平移公式求出直線AB平移后的方程，設(shè)出動點N的坐標(biāo)，代入，利用（1）中所求x₁+x₂，x₁x₂，化簡，再用二次函數(shù)求最值的方法求出最小值．
（3）先假設(shè)存在一條定直線l：x=a，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長為定值，設(shè)出直線l與以CD為直徑的圓的交點為P，Q，則動圓圓心到P，Q的距離都等于CD距離的一半，再求出動圓圓心到直線l的距離，利用圓中半徑，弦心距，半弦滿足勾股定理，計算出半弦，看是否為常數(shù)，若是，則假設(shè)正確，若不是，則假設(shè)不正確．再根據(jù)求出的a值，寫出直線l的方程即可．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=x-1，代入y²=4x中
可得：x²-6x+1=0
則x₁+x₂=6，由定義可得：|AB|=x₁+x₂+p=8．
（2）由（1）可設(shè)N（x，x+1），
則
即
由x₁+x₂=6，x₁x₂=1，y₁y₂=-4，y₁+y₂=4
則
當(dāng)x=2時，的最小值為-14．                              
（3）設(shè)CD的中點為O'，l與以CD為直徑的圓相交于點P、Q，
設(shè)PQ的中點為H，則O'H⊥PQ，O'點的坐標(biāo)為．
∵，
，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=
=（a-1）x₁-a²+2a，∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[（a-1）x₁-a²+2a]．                         
令a-1=0，得a=1，此時|PQ|=2為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為x=1，即拋物線的通徑所在的直線．
點評：本題主要考查了直線與拋物線相交時弦長的求法，直線與圓相交時弦長的求法，其中注意韋達(dá)定理的應(yīng)用．