Question

如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中點(diǎn),

 

(1)求證:平面AGC⊥平面BGC;

(2)求GB與平面AGC所成角的正弦值;

(3)求二面角B-AC-G的大小.

Answer 1

思路解析:(1)用面面垂直的判定定理證明;

(2)過(guò)GB上一點(diǎn)作平面AGC的垂線,找線面角;

(3)作兩個(gè)面的垂線.

(1)證明:∵正方形ABCD,∴CB⊥AB.

∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB,

∴CB⊥面ABEF.

∵AG、GB面ABEF、

∴CB⊥AG、CB⊥BG.

又AD=2a,AF=a,ABEF是矩形,G是EF的中點(diǎn)、

∴AG=BG=a,AB=2a,AB²=AG²+BG².

∴AG⊥BG.

∵CB∩BG=B,∴AG⊥平面CBG.

而AG面AGC,

故平面AGC⊥平面BGC.

(2)解:如題圖,由(1)知面AGC⊥面BGC、且交于GC,

在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC、垂足為H,則BH⊥平面AGC.

∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角.

∴在Rt△CBG中,BH=

又BG=a,∴sin∠BGH=.

(3)解:由(2)知,BH⊥面AGC.

作BO⊥AC,垂足為O,連結(jié)HO,則HO⊥AC.

∴∠BOH為二面角B-AC-G的平面角.

在Rt△ABC中,BO=a.

在Rt△BOH中,sin∠BOH=,∠BOH=arcsin,

即二面角B-AC-G的大小為arcsin.