Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若直線為曲線的切線，求證：直線與曲線不可能有2個切點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先確定函數(shù)定義域和導(dǎo)函數(shù)；令，得到；當(dāng)時，，得到函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，分為兩根都小于零和都大于零兩種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）采用反證法，假設(shè)可能有個切點(diǎn)；分別列出在兩個切點(diǎn)的切線方程，根據(jù)方程相同可建立方程組，整理可得；令，構(gòu)造函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)求得，等式不成立，從而得到假設(shè)錯誤，證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域為，

令，則

若，則，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若或，有兩個零點(diǎn)，，則

其中，；

若，則，，此時

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，則，

此時當(dāng)和時，，當(dāng)時，

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個不同切點(diǎn)，

不妨令

則處切線的方程為：

處切線的方程為：

為同一直線

即，整理得：

消去得：…①

令，由與得：

記，則

為上的單調(diào)減函數(shù)

從而①式不可能成立，即假設(shè)不成立

若直線為曲線的切線，則直線與曲線不可能有個切點(diǎn)