Question

（2011•廣州一模）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知數(shù)列{

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（1） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

1

anS2n+1 + an+1S2n-1

，若不等式

n

i=1

bi≥

L

2n+1 +1

對(duì)任意n∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)L的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列數(shù)列{

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到

Sn

的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到S_n的通項(xiàng)公式，然后當(dāng)n=1時(shí)，求出a₁=S₁的值，當(dāng)n大于等于2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，把n=1代入也滿足；
（2）把（1）中求出的S_n的通項(xiàng)公式代入到b_n中，化簡(jiǎn)后確定出通項(xiàng)，然后列舉出

n

i=1

bi的各項(xiàng)，抵消后得到通項(xiàng)，將通項(xiàng)代入到不等式中，解出L，令cn=

n

2n+1

，利用作商的方法得到此數(shù)列為遞增數(shù)列，進(jìn)而得到此數(shù)列的最小值為c₁，讓L小于等于求出的最小值即可得到L的取值范圍．

解答：解：（1）∵數(shù)列{

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+(n-1)=n．
∴S_n=n²．（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
又a₁=1適合上式．
∴a_n=2n-1．（4分）
（2）因?yàn)?span id="bvzlvrn" class="MathJye">bn=

1

anS2n+1 + an+1S2n-1

=

1

(2n+1) 2n-1 +(2n-1) 2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1) ( 2n+1 + 2n-1 )

=

2n+1 - 2n-1

2 (2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．（6分）
∴

n

i=1

bi=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

2n+1 -1

2 2n+1

．（8分）
故要使不等式

n

i=1

bi≥

L

2n+1 +1

對(duì)任意n∈N^*都成立，
即

2n+1 -1

2 2n+1

≥

L

2n+1 +1

對(duì)任意n∈N^*都成立，
得L≤

( 2n+1 -1)( 2n+1 +1)

2 2n+1

=

n

2n+1

對(duì)任意n∈N^*都成立．（10分）
令cn=

n

2n+1

，則

cn+1

cn

=

(n+1) 2n+1

n 2n+3

=

2n3+5n2+4n+1

2n3+3n2

＞1．
∴c_n+1＞c_n．∴cn＞cn-1＞…＞c1=

3

3

．（12分）
∴L≤

3

3

．∴實(shí)數(shù)L的取值范圍為(-∞，

3

3

]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，會(huì)利用數(shù)列的遞推式得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握不等式恒成立時(shí)滿足的條件，是一道中檔題．