Question

已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B．曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，證明：x₁•x₂=1；
（3）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為S₁與S₂，且，求的取值范圍．

Answer 1

（1）解：依題意可得A（-1，0），B（1，0）．
設(shè)雙曲線C的方程為（b＞0），
因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即b=2．
所以雙曲線C的方程為．
（2）證法1：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），
則直線AP的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立方程組
整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或．所以．
同理可得，．
所以x₁•x₂=1．…（8分）
證法2：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
則，．
因?yàn)閗_AP=k_AT，所以，即．…（5分）
因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)T分別在雙曲線和橢圓上，所以，．
即，．
所以，即．…（7分）
所以x₁•x₂=1．
證法3：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），直線AP的方程為，
聯(lián)立方程組
整理，得，
解得x=-1或．…（6分）
將代入，得，即．
所以x₁•x₂=1．
（3）解：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
則，．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/222406.png' />，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，則，所以，即．
因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以1＜x₁≤2．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/222435.png' />，，
所以．
由（2）知，x₁•x₂=1，即．
設(shè)，則1＜t≤4，．
設(shè)，則，
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，f'（t）＞0，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，f'（t）＜0，
所以函數(shù)f（t）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，4]上單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（2）=1，f（1）=f（4）=0，
所以當(dāng)t=4，即x₁=2時(shí)，．
當(dāng)t=2，即時(shí)，．
所以的取值范圍為[0，1]．
分析：（1）依題意設(shè)雙曲線C的方程，利用雙曲線的離心率為，建立等式，從而可求雙曲線C的方程；
（2）證法1：設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定P、T的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
證法2：利用k_AP=k_AT，建立等式，根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)T分別在雙曲線和橢圓上，可得方程，代入化簡(jiǎn)，可得結(jié)論；
證法3：設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定P、T的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
（3）利用，結(jié)合點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，可得1＜x₁≤2，利用三角形的面積公式求面積，從而可得的不等式，利用換元法，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力．