Question

已知點A，B分別是射線l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的動點，O為坐標原點，且△OAB的面積為定值2．
（I）求線段AB中點M的軌跡C的方程；
（II）過點N（0，2）作直線l，與曲線C交于不同的兩點P，Q，與射線l₁，l₂分別交于點R，S，試求出直線l的斜率的取值范圍，并證明：|PR|=|QS|．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點M（x，y），由M是線段AB中點得

x= x1+x2 2 ，(1) y= x1-x2 2 ，(2)

又因為點A，B分別是射線l₁l₂上的動點，且S_△OAB=x₁x₂=2所以點M的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．
（Ⅱ）討論直線的斜率是否存在，存在時設(shè)直線l的方程為y=kx+2，由題得x_P，x_Q＞0，即整理得-

3

＜k＜-1，又xR+xS=

2k

1-k2

且PQ的中點的橫坐標為

xP+xQ

2

=

2k

1-k2

，所以
|PR|=|QS|

解答：解：（I）由題可設(shè)A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），其中x₁＞0，x₂＞0．
則

x= x1+x2 2 ，(1) y= x1-x2 2 ，(2)

∵△OAB的面積為定值2，
∴S△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

(

2

x1)(

2

x2)=x1x2=2．
（1）²-（2）²，消去x₁，x₂，得：x²-y²=2．
由于x₁＞0，x₂＞0，∴x＞0，所以點M的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．
（II）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由

y=kx+2 x2-y2=2

消去y得：（1-k²）x²-4kx-6=0，
設(shè)點P、Q、R、S的橫坐標分別是x_P、x_Q、x_R、x_P，
∴由x_P，x_Q＞0得

1-k2≠0 △=16k2+24(1-k2)＞0 xP+xQ= 4k 1-k2 ＞0 xPxQ= -6 1-k2 ＞0

解之得：-

3

＜k＜-1
由

y=kx+2 y=x

消去y得：xR=

2

1-k

，
由

y=kx+2 y=-x

消去y得：xS=

2

-1-k

∴xR+xS=

2k

1-k2

．又PQ的中點的橫坐標為

xP+xQ

2

=

2k

1-k2

所以RS的中點與PQ的中點重合，故|PR|=|QS|

點評：本題主要考查雙曲線軌跡方程以及弦的中點問題與直線和圓錐曲線的相交問題，它們是圓錐曲線的綜合問題也是高考�？純�(nèi)容．