Question

【題目】設(shè)數(shù)列，對(duì)任意都有，（其中k、b、p是常數(shù)）．

（1）當(dāng)，，時(shí)，求；

（2）當(dāng)，，時(shí)，若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．當(dāng)，，時(shí)，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使得對(duì)任意，都有，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）當(dāng)，，時(shí)，，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而可求；

（2）當(dāng)，，時(shí)，，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用是“封閉數(shù)列”，得是偶數(shù)，從而可得，再利用，驗(yàn)證，可求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值．

（1）當(dāng)，，時(shí)，，①

用去代n得，，②

②①得，，，

在①中令得，，則，∴，

∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

∴．

（2）當(dāng)，，時(shí)，，③

用去代n得，，④

④③得，，⑤

用去代n得，，⑥

⑥⑤得，，即，

∴數(shù)列是等差數(shù)列．

∵，，∴公差，∴．

（3）由（2）知數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴．

又是“封閉數(shù)列”，得：對(duì)任意m，，必存在使，

得，故是偶數(shù)，

又由已知，，故．

一方面，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，都有．

另一方面，當(dāng)時(shí)，，，則，

取，則，不合題意．

當(dāng)時(shí)，，，則，

當(dāng)時(shí)，，，，

又，

∴或或或．