Question

已知函數(shù)(x≥4)的反函數(shù)為，數(shù)列滿足：a₁=1，，（N*），數(shù)列，，，…，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列； （Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

Answer 1

（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）．

(I)反解x,可得(x≥0),
所以,從而可得（N*）,由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是等差數(shù)列.
(II)由題意可知當(dāng)n≥2時，,然后采用疊加的辦法求出,從而確定,然后采用錯位相減的方法求和.
（Ⅰ）∵(x≥4)，
∴(x≥0)，
∴，
即（N*）．
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即
（N*）．
b₁=1，當(dāng)n≥2時，，
∴

因而，N*．
，
∴

令              ①
則     ②
①-②，得
 
∴．又．
∴．