Question

（2013•溫州二模）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F(xiàn)分別在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使點(diǎn)B′在平面CDEF 上的射影H在直線DE上．
（I）求證：A′D∥平面B′FC
（II）求二面角A′-DE-F的大小

．

Answer 1

分析：（I）利用線面平行的判定定理可得A^′E∥平面B^′FC，DE∥平面B^′FC，又A^′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A^′ED∥平面B^′FC，再利用面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行；
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用B^′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，設(shè)B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）及F（2，2，0），B′E=

5

，B^′F=3，可得到點(diǎn)B^′的坐標(biāo)，分別求出平面A^′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（I）證明：∵A^′E∥B^′F，A^′E?平面B^′FC，B^′F?平面B^′FC．
∴A^′E∥平面B^′FC，
由DE∥FC，同理可得DE∥平面B^′FC，
又∵A^′E∩DE=E．
∴平面A^′ED∥平面B^′FC，
∴A^′D∥平面B^′FC．
（II）解：如圖，過E作ER∥DC，過E作ES⊥平面EFCD，
分別以ER，ED，ES為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵B^′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，設(shè)B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）．
∵F（2，2，0），B′E=

5

，B^′F=3．
∴

y2+z2=5 4+(y-2)2+z2=9

解得

y=1 z=2

．
∴B^′（0，1，2）．
∴

FB′

=(-2，-1，2)．
∴

EA′

=

1

3

FB′

=(-

2

3

，-

1

3

，

2

3

)．
設(shè)平面A^′DE的法向量為

n

=(x0，y0，z0)，又有

ED

=(0，4，0)．
∴

n • EA′ =0 n • ED =0

得

- 2 3 x- 1 3 y+ 2 3 z=0 4y=0

，令x=1，則z=1，y═0，得到

n

=(1，0，1)．
又∵平面CDEF的法向量為

m

=(0，0，1)．
設(shè)二面角A^′-DE-F的大小為θ，顯然θ為鈍角
∴cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-

2

2

．
∴θ=135°．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行的判定定理、面面平行的判定和性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求二面角是解題的關(guān)鍵．