【題目】求在圖所示的的方格中“圈”的個(gè)數(shù).在這里，一條封閉的折線叫做圈，如果這條折線的邊均由方格的邊組成，且折線經(jīng)過的任意一個(gè)方格頂點(diǎn)都只與折線的兩條邊相連.

【答案】681

【解析】

定義某個(gè)圈在方格水平方向的投影長(zhǎng)為這個(gè)圈的“圈長(zhǎng)”.

首先求的方格（如圖）中圈長(zhǎng)為的圈的個(gè)數(shù).

這些圈中都至少包含了、格中的一個(gè)，設(shè)其中包含格但不包含格的有個(gè)，

包含格但不包含格的有個(gè)，包含、兩格的有個(gè).因此，.

由對(duì)稱性知，又包含、格的圈，必須至少包含、格中的一個(gè)，故；

包含格但不包含格的圈必包含格，故

.由以上四式得.

下面計(jì)算、.如圖（a）,在的方格中圈長(zhǎng)為1的圈共有3個(gè)：，，.

（a） （b）

如圖（b），在的方格中圈長(zhǎng)為2的圈共有7個(gè)：，，，，，，.

所以，，因此，，，，.故棋盤中圈的個(gè)數(shù)為.

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【題目】甲、乙兩人做下面的游戲：有一個(gè)由兩個(gè)同軸圓柱組成的有蓋容器，如圖，里面的實(shí)心圓柱底面半徑為，外面的圓柱面的底面半徑為，容器的高為。在容器內(nèi)放入個(gè)半徑為且質(zhì)地相同的小球，其中紅、黃、藍(lán)色各個(gè)，隨意翻動(dòng)容器，然后將容器直立在桌面上。當(dāng)小球全部停止后，如果有兩個(gè)顏色相同的小球相鄰，則甲勝，否則乙勝。那么，甲勝的概率為（）。

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù)，

（1）求的極值；

（2）若時(shí)，與的單調(diào)性相同，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，有最小值，記的最小值為，證明：.

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【題目】某省高考改革新方案，不分文理科，高考成績(jī)實(shí)行“”的構(gòu)成模式，第一個(gè)“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語，每門滿分150分，第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級(jí)性考試，每門滿分100分，高考錄取成績(jī)卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體，從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；

(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作，求事件“”的概率.

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【題目】已知在區(qū)間上是增函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值組成的集合；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為、．試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意及 恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會(huì)，問：

（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？

（2）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？

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【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，普及冬奧知識(shí)，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（滿分為100分），分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值；

（2）記表示事件“從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80分”，估計(jì)的概率；

（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”’，比賽成績(jī)低于80分為“非優(yōu)秀”.請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

40

女生

50

合計(jì)

100

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

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【題目】設(shè)函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.

（1）求的最值；

（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).

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