Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一動(dòng)點(diǎn)P，拋物線內(nèi)一點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)為焦點(diǎn)且|PA|+|PF|的最小值為．（1）求拋物線的方程以及使得|PA|+|PF|取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過（1）中的P點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線分別交于C、D兩點(diǎn)，直線CD是否過一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+，由此能求出拋物線方程和P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)，，則直線CD的方程為，由PC⊥PD，得y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），代入直線CD，得，由此知直線CD過定點(diǎn)（4，-2）．
解答：解：（1）由已知，（|PA|+|PF|）_min=3+，
∴p=1，
∴拋物線方程為：y²=2x，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
（2）設(shè)，，
則直線CD的方程為：，
即：，
∵PC⊥PD，∴，
∴y₁y₂=-8-2（y₁+y₂），
代入直線CD，得，
即：，
∴直線CD過定點(diǎn)（4，-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．