Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）證明：數(shù)列{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列，并求S_n；
（2）設(shè)bn=

Sn

n3

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an-n(n-1)可得，當(dāng)n≥2時(shí)：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，兩式相減可得{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

n+1

n

Sn，進(jìn)而可求
（2）由（1）可得bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)相消法可求和，即可證明

解答：證明：（1）由Sn=n2an-n(n-1)知，
當(dāng)n≥2時(shí)：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，…（1分）
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，對(duì)n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S1=1
∴{

n+1

n

Sn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1…（5分）
∴Sn=

n2

n+1

…（6分）
（2）bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的和與項(xiàng)相互轉(zhuǎn)化的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解中的應(yīng)用，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用是證明（2）的關(guān)鍵