【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn).設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)（在軸上方），直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且直線與垂直，求直線的斜率.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意先得，，，由為的中點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，列出關(guān)系式，求出，，即可得出橢圓方程；

（2）先由題意確定直線的斜率必存在且大于0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與題中條件，即可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，，，且為的中點(diǎn)，

所以，則.

即，所以，.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，則，.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意直線的斜率必存在且大于0，

設(shè)直線的方程為：.

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：，

因?yàn)?/span>，

得，，

當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，此時(shí)不符合題意.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，

因?yàn)?/span>，所以直線的方程為：，

兩直線聯(lián)立解得：，因?yàn)?/span>在橢圓上，

所以，化簡(jiǎn)得：，即，

因?yàn)?/span>，所以，

此時(shí).

直線的斜率為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：存在常數(shù)使得，并求出的值.

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（參考數(shù)據(jù)：；）

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