【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k>0)
(1)求證:CD⊥平面ADD1A1
(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為 ,求k的值
(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱,規(guī)定:若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案,問(wèn)共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為f(k),寫(xiě)出f(k)的解析式.(直接寫(xiě)出答案,不必說(shuō)明理由)
【答案】
(1)
證明:取DC的中點(diǎn)E,連接BE,∵AB∥ED,AB=ED=3k,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
∴BE∥AD,且BE=AD=4k,∴BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2,∴∠BEC=90°,∴BE⊥CD,
又∵BE∥AD,∴CD⊥AD.
∵側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,∴AA1⊥CD,
∵AA1∩AD=A,∴CD⊥平面ADD1A1
(2)
解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn), 、 、 的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1).
∴ , , .
設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),則 ,取y=2,則z=﹣6k,x=3.∴ .
設(shè)AA1與平面AB1C所成角為θ,則 = = = ,解得k=1,故所求k=1.
(3)
解:由題意可與左右平面ADD1A1,BCC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案.
寫(xiě)出每一方案下的表面積,通過(guò)比較即可得出f(k)=
【解析】(1)取DC得中點(diǎn)E,連接BE,可證明四邊形ABED是平行四邊形,再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD,即CD⊥AD,又側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,可得AA1⊥DC,利用線面垂直的判定定理即可證明.(2)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量與斜線的方向向量的夾角即可得出;(3)由題意可與左右平面ADD1A1 , BCC1B1 , 上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案.寫(xiě)出每一方案下的表面積,通過(guò)比較即可得出f(k).
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定區(qū)域D: .令點(diǎn)集T={(x0 , y0)∈D|x0 , y0∈Z,(x0 , y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)},則T中的點(diǎn)共確定條不同的直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)和向量
(1)若向量與向量同向,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若向量與向量的夾角是鈍角,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某次測(cè)試中,卷面滿分為100分,考生得分為整數(shù),規(guī)定60分及以上為及格.某調(diào)研課題小組為了調(diào)查午休對(duì)考生復(fù)習(xí)效果的影響,對(duì)午休和不午休的考生進(jìn)行了測(cè)試成績(jī)的統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下表:
(1)根據(jù)上述表格完成下列列聯(lián)表:
(2)判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下認(rèn)為成績(jī)及格與午休有關(guān)”?
(參考公式:,其中.)
0.010 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D. 把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品,每年每人只要交少量保費(fèi),發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付概率).
(Ⅰ)根據(jù)規(guī)定,該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過(guò)保費(fèi)的20%,試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限;
(Ⅱ)某企業(yè)共有職工20000人,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,老板準(zhǔn)備為全體職工每人購(gòu)買(mǎi)一份此種保險(xiǎn),并以(Ⅰ)中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購(gòu)買(mǎi),試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若α是第一象限角,則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是( )
A. sinα+cosα>1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα<1D. 不能確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤(rùn)分別為和(萬(wàn)元),它們與投入資金(萬(wàn)元)的關(guān)系有如下公式:,,今將200萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,并要求對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于25萬(wàn)元.
(Ⅰ)設(shè)對(duì)乙種產(chǎn)品投入資金(萬(wàn)元),求總利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(Ⅱ)如何分配投入資金,才能使總利潤(rùn)最大,并求出最大總利潤(rùn).
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