Question

【題目】函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的定義域；

（2）若，請判定的奇偶性；

（3）是否存在實數(shù)，使函數(shù)在遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）定義域為；（2）奇函數(shù)；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，；（2），函數(shù)的定義域為，即，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；（3）假設(shè)存在，設(shè)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最大值1，即，，所以，符合題意.

試題解析：（1）由題意：，，即，

所以函數(shù)的定義域為.

（2）易知，

∵，且，∴，關(guān)于原點對稱，

又∵=，

∴=-=-，

∴為奇函數(shù).

（3）令， ，在上單調(diào)遞減，

又∵函數(shù)在遞增， ∴，

又函數(shù)在的最大值為1，，

即，.