【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和為Tn,且3TnSn2+2Sn,n∈N*

(Ⅰ)求a1的值;

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ)kt∈N*,且S1,SkS1StSk成等比數(shù)列,求kt的值.

【答案】(1)a1=1(2)an=2n1,n∈N*.(3)k=2,t=3.

【解析】試題分析:(1)由,得,解方程即可得結(jié)果;(2)因?yàn)?/span>,兩式相減可得再得,再相減可得是等差數(shù)列,從而可得結(jié)果;(3)由(2)可知,根據(jù)成等比數(shù)列可得,只需證明以上等式無整數(shù)解即可.

試題解析:解:(1)由3T1S12+2S1,得3a12a12+2a1,即a12a1=0.

因?yàn)?/span>a1>0,所以a1=1.

(2)因?yàn)?TnSn2+2Sn, ①

所以3Tn1Sn12+2Sn1,②

②-①,得3an12Sn12Sn2+2an1

因?yàn)?/span>an1>0,

所以3an1Sn1Sn+2, ③

所以3an2=Sn2Sn1+2,④

④-③,得3an2-3an1an2an1,即an2=2an1,

所以當(dāng)n≥2時(shí), 2

又由3T2S22+2S2,得3(1+a22)=(1+a2)2+2(1+a2),

a22-2a2=0.

因?yàn)?/span>a2>0,所以a2=2,所以=2,所以對nN*,都有=2成立,

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n1,n∈N*

(3)由(2)可知Sn=2n-1.

因?yàn)?/span>S1SkS1,StSk成等比數(shù)列,

所以(SkS1)2S1(StSk),即(2k-2)2=2t-2k

所以2t=(2k)2-32k+4,即2t2=(2k1)2-32k2+1(*).

由于SkS1≠0,所以k≠1,即k≥2.

當(dāng)k=2時(shí),2t=8,得t=3.

當(dāng)k≥3時(shí),由(*),得(2k1)2-32k2+1為奇數(shù),

所以t-2=0,即t=2,代入(*)得22k2-32k2=0,即2k=3,此時(shí)k無正整數(shù)解.

綜上,k=2,t=3.

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