【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為﹣1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),x2<ex;
(3)證明:對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0 , 使得當(dāng)x∈(x0 , +∞)時(shí),恒有x2<cex .
【答案】
(1)解:由f(x)=ex﹣ax,得f′(x)=ex﹣a.
又f′(0)=1﹣a=﹣1,解得a=2,
∴f(x)=ex﹣2x,f′(x)=ex﹣2.
由f′(x)=0,得x=ln2,
當(dāng)x<ln2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
∴當(dāng)x=ln2時(shí),f(x)有極小值為f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4.f(x)無(wú)極大值
(2)證明:令g(x)=ex﹣x2,則g′(x)=ex﹣2x,
由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4>0,即g′(x)>0,
∴當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)>0,即x2<ex
(3)首先證明當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),恒有 x3<ex.
證明如下:
令h(x)= x3﹣ex,則h′(x)=x2﹣ex.
由(2)知,當(dāng)x>0時(shí),x2<ex,
從而h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,
所以h(x)<h(0)=﹣1<0,即 x3<ex,
取x0= ,當(dāng)x>x0時(shí),有 x2< x3<ex.
因此,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),恒有x2<cex
【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a,再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可求得函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex﹣x2 , 求出導(dǎo)數(shù),利用(1)問(wèn)結(jié)論可得到函數(shù)的符號(hào),從而判斷g(x)的單調(diào)性,即可得出結(jié)論;(3)首先可將要證明的不等式變形為 x2<ex , 進(jìn)而發(fā)現(xiàn)當(dāng)x> 時(shí), x2< x3 , 因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),恒有 x3<ex .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)p(1,m)在拋物線上,F為焦點(diǎn),且.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)T(4,0)的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中正確的是
A. 先把高三年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào):1到2000,再?gòu)木幪?hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,其編號(hào)為,然后抽取編號(hào)為的學(xué)生,這樣的抽樣方法是分層抽樣法
B. 線性回歸直線不一定過(guò)樣本中心點(diǎn)
C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1
D. 若一組數(shù)據(jù)1、、3的平均數(shù)是2,則該組數(shù)據(jù)的方差是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,我市居民收入逐年增長(zhǎng),下表是我市一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額):
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲(chǔ)蓄存款(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,,:
(1)填寫(xiě)下列表格并根據(jù)表格求關(guān)于的線性回歸方程;
時(shí)間代號(hào) | |||||
(2)通過(guò)(Ⅰ)中的方程,求出關(guān)于的回歸方程,并用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2020年年底,該銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】7個(gè)人排成一排,按下列要求各有多少種排法?
其中甲不站排頭,乙不站排尾;
其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰;
其中甲、乙中間有且只有1人;
其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)共有高一學(xué)生800人.在一次數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試則試后,學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績(jī)抽樣分析,先將800人按001,002,…,800進(jìn)行編號(hào).
(1)如果從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀,請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先檢查的3個(gè)人的編號(hào);
(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
人數(shù) | 數(shù)學(xué) | |||
優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | ||
地理 | 優(yōu)秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | 4 |
成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí);橫向,縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī),例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)共有.
①若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是30%,求,的值:
②在地理成績(jī)及格的學(xué)生中,已知,,求數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0, ]
(1)求證:f(x)≤0;
(2)若a< <b對(duì)x∈(0, )上恒成立,求a的最大值與b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后,生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸直線方程;
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的回歸直線方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
注: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓過(guò),兩點(diǎn),且圓心在直線上.
(1)求圓的方程;
(2)若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為,求的方程.
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