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三棱錐P—ABC中，側棱PA⊥底面ABC，H是A在平面PBC上的射影.

（1）若H是△PBC的重心，則在此三棱錐的棱所在的直線中與AC垂直的直線有幾條？

（2）若H是△PBC的重心，且△ABC是邊長為2的正三角形，求二面角P—BC—A的大小.

 

答案：
解析：

解：（1）充分利用線線垂直與線面垂直的相互關系進行挖掘與探求；

（2）二面角問題關鍵是“作”“證”“算”，本題關鍵要利用重心性質及方程思想進行求解.

（1）PA⊥平面ABC，AC平面ABC，∴PA⊥AC，AH⊥平面PBC，CH⊥PB.

∴AC⊥PB.∴AC⊥平面ABC.

又AB平面PAB，∴AC⊥AB.

故與AC垂直的直線有PA、PB、AB三條.

（2）若H是重心，連結PH交BC于D，可設PH＝2x，HD＝x.

由AB＝2，可知AD＝，于是有（）2＝x·（2x＋x），則x＝1.

∴PD＝3.又D是BC的中點，∴AD⊥BC.∴PD⊥BC.

∴∠PDA是二面角P—BC—A的平面角.

由cosPDA＝，得∠PDA＝arccos即為所求.

 


練習冊系列答案
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π2
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12
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．

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