Question

數(shù)列中各項為正數(shù)，為其前n項和，對任意，總有成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）是否存在最大正整數(shù)p，使得命題“，”是真命題？若存在，求出p；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

試題分析：(1)根據(jù)是等差數(shù)列，得到,當時，兩式相減整理得到關(guān)于數(shù)列的遞推公式，可以知道數(shù)列是等差數(shù)列，利用求出首項;
(2)第一種方法就是首先假設(shè)存在正整數(shù),滿足，利用代入得成立即中的最大整數(shù)，設(shè),,利用導數(shù)易知函數(shù)的單調(diào)性，易求函數(shù)的最小值，
第二種方法設(shè)函數(shù)，求其導數(shù)，得到函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，其最大值小于0，求出p的范圍.
試題解析：（1）由已知時，，∴
兩式相減，得     ∴
又為正數(shù)，∴.           4分
∴是公差為1的等差數(shù)列.
當時，，得，∴.   6分
（2）解法1：假設(shè)存在正整數(shù)p，滿足，即.
∴                                 8分
設(shè)函數(shù)，則.
當時，，∴在[1，+∞）上為增函數(shù).
∴，即有.
∵p為滿足的最大正整數(shù)，而，故.   12分
解法2：設(shè)，
，
故在[1，+∞）上為減函數(shù)，             9分
.
令. ∵，
故使成立的最大正整數(shù).   12分求;2.利用函數(shù)的導數(shù)求其最值.