【題目】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為⊙H.

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)C,且被⊙H截得的弦長(zhǎng)為2,求直線l的方程;

(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),求⊙C的半徑r的取值范圍.

【答案】(1)x=3或4x-3y-6=0.(2)[).

【解析】

試題分析:(1)先求出三角形兩邊的垂直平分線的方程,解聯(lián)立方程組求出外心的坐標(biāo),再求出半徑得出外接圓的方程,根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離,設(shè)出直線方程利用圓心到直線的距離公式列方程求出直線的斜率,寫出直線的方程,注意直線斜率不存在的情形;(2)設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo),表示出中點(diǎn)M的坐標(biāo),M、N滿足圓C的方程,根據(jù)方程組有解說(shuō)明兩圓有公共點(diǎn),利用兩圓位置關(guān)系要求及點(diǎn)P滿足直線BH的方程,解出半徑的取值范圍.

試題解析:

(1)線段AB的垂直平分線方程x=0,線段BC的垂直平分線方程為xy-3=0,

∴外接圓圓心H(0,3),半徑,⊙H的方程x2+(y-3)2=10.

設(shè)圓心H到直線l的距離為d,∵直線l被⊙H截得的弦長(zhǎng)為2,∴d=3.

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),顯然符合題意,即x=3為所求;

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),則=3,解得k.

綜上,直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0.6分

(2)直線BH的方程為3xy-3=0,設(shè)P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),

∵點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),∴M(),

M,N都在半徑為r的⊙C上,

,

∵此關(guān)于x,y的方程組有解,即以(3,2)為圓心,r為半徑的圓與以(6-m,4-n)為圓心,2r為半徑的圓有公共點(diǎn),∴(2rr)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2.

又3mn-3=0,∴r2≤10m2-12m+10≤9r2對(duì)所有的m∈[0,1]成立.

f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域?yàn)閇,10],故r2,且10≤9r2.

又線段BH與圓C無(wú)公共點(diǎn),∴(m-3)2+(3-3m-2)2r2對(duì)所有的m∈[0,1]成立,

r2.故⊙C的半徑r的取值范圍為[ ).

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1)試規(guī)定的值,并解釋其實(shí)際意義;

2)試根據(jù)假定寫出函數(shù)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì);

3)設(shè).現(xiàn)有單位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成2份后清洗兩次,試問(wèn)用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較省?說(shuō)明理由.

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