Question

【題目】已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點M

（1）求點M到拋物線C1的準線的距離；

（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由題意畫出簡圖為：

由于拋物線C1：x2=y準線方程為：y=﹣，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心M（0，4），

利用點到直線的距離公式可以得到距離d==．

（2）設(shè)點P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；

由題意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，

設(shè)過點P的圓c2的切線方程為：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①

則，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0

設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2應(yīng)該為上述方程的兩個根，

∴，；

代入①得：x2﹣kx+kx0﹣x02="0" 則x1，x2應(yīng)為此方程的兩個根，

故x1=k1﹣x0，x2=k2﹣x0

∴kAB=x1+x2=k1+k2﹣2x0=

由于MP⊥AB，∴kABKMP=﹣1

故P∴．