Question

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且，直線過(guò)定點(diǎn)（4，0），與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的射影是.

（1）求的值；

（2）若，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離求解的值，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求解的值；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合兩直線垂直或線段的長(zhǎng)度的關(guān)系求解參數(shù)的值，進(jìn)而確定直線方程.

解：（1）由得，所以，

將代入，得.

（2）解法一：因?yàn)?/span>，由（1）知點(diǎn)，

拋物線的方程為，

設(shè)直線的方程是，

由得，

設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，且，

所以，

且，

由，

得，

即，

，

解得（舍去）或，

所以直線的方程是，

即.

解法二：因?yàn)?/span>，由（1）知點(diǎn)，

拋物線的方程為，

設(shè)直線的方程是，

由得，

設(shè)，

則，

由

解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，

，

，

因?yàn)?/span>，

所以

，

化簡(jiǎn)得，

解得（舍去）或，

所以直線的方程是，

即