【題目】設(shè)橢圓的離心率,左頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,為坐標(biāo)原點(diǎn).

)求橢圓的方程;

)設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),證明:點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值;

III)在()的條件下,試求的面積的最小值.

【答案】1;(2)定值為;(3

【解析】

試題(1)根據(jù)題目條件建立a,b,c的兩個(gè)方程,可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),等價(jià)于OA⊥OB,再轉(zhuǎn)換為x1x2y1y20,結(jié)合AB是直線(xiàn)與橢圓的公共點(diǎn),可得原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值;(3)結(jié)合(2),將三角形的面積表示為直線(xiàn)斜率的函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的面積的最小值.

試題解析:(1)由e,得ca,又b2a2c2,所以ba,即a2b.

由左頂點(diǎn)M(-a,0)到直線(xiàn),即bxayab0的距離d,

,即,

a2b代入上式,得,解得b1.所以a2b2,c.

所以橢圓C的方程為. 3

2)設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,可知x1x2,y1=-y2.

因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),故0,

x1x2y1y20,也就是

又點(diǎn)A在橢圓C上,所以

解得|x1||y1|.

此時(shí)點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d1|x1|.

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí),

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為ykxm,

與橢圓方程聯(lián)立有

消去y,得(14k2x28kmx4m240

所以

因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以OA⊥OB

于是x1x2y1y20,

所以(1k2x1x2kmx1x2)+m20

所以

整理得:5m24k21

所以點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d1.

綜上所述,點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離為定值. 8

3)設(shè)直線(xiàn)OA的斜率為k0.

當(dāng)k0≠0時(shí),

OA的方程為yk0x,OB的方程為,

聯(lián)立同理可求得

△AOB的面積為S2.

1tt>1),

S22,

gt)=t>1),所以4<gt.所以≤S<1.

當(dāng)k00時(shí),可求得S1

≤S≤1,故S的最小值為. 13

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是一個(gè)類(lèi)似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾帳號(hào),用戶(hù)只需以運(yùn)動(dòng)手環(huán)或手機(jī)協(xié)處理器的運(yùn)動(dòng)教據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號(hào),就能看見(jiàn)自己與好友每日行走的步數(shù),并在同一排行榜上得以體現(xiàn),現(xiàn)隨機(jī)選取朋友圈中的50人記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:

規(guī)定:人一天行走的步數(shù)超過(guò)8000步時(shí)被系統(tǒng)評(píng)定為“積極性”,否則為“懈怠性”.

(1)填寫(xiě)下面列聯(lián)表(單位:人),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“評(píng)定類(lèi)型與性別有關(guān)”;

附:

(2)為了進(jìn)一步了解“懈怠性”人群中每個(gè)人的生活習(xí)慣,從步行在的人群中再隨機(jī)抽取3人,求選中的人中男性人數(shù)超過(guò)女性人數(shù)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)AB、C、D的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),,α∈(,).

1)若,求角α的值;

2)若,求的值.

3)若在定義域α∈(,)有最小值,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品和產(chǎn)品需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,并且需要花費(fèi)1天時(shí)間;生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要甲材料,乙材料,也需要1天時(shí)間,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為1000元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為2000.該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙材料各,則在不超過(guò)120天的條件下,求生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知圓O,直線(xiàn)l

若直線(xiàn)l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A,B,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)k的值;

,P是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作圓O的兩條切線(xiàn)PC、PD,切點(diǎn)分別為C、D,試探究:直線(xiàn)CD是否過(guò)定點(diǎn)若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹(shù),記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測(cè)量P,Q兩棵樹(shù)和A,P兩棵樹(shù)之間的距離,現(xiàn)可測(cè)得A,B兩點(diǎn)間的距離為100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示.則P,Q兩棵樹(shù)和A,P兩棵樹(shù)之間的距離各為多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),

(1)證明;

(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn),且求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(xiàn) (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線(xiàn)的圖形.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線(xiàn)

Ⅰ)求曲線(xiàn)和直線(xiàn)的普通方程;

Ⅱ)點(diǎn)P為曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)家的造型,同畫(huà)家和詩(shī)人一樣,也應(yīng)當(dāng)是美麗的”;古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來(lái)美;我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于(

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案