Question

已知數(shù)列，滿足，，
（1）求的值；
（2）猜想數(shù)列 的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）己知，設(shè)，記，求．

Answer 1

（1）；；（2），證明見解析；（3）3．.

試題分析：（1）這屬于已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的項(xiàng)的問題，我們只要在已知遞推關(guān)系式中依次令就可以依次求出；（2）用歸納法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)想象各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系，如，，，，從而歸納出結(jié)論，然后數(shù)學(xué)歸納法證明，這里數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)即第一步已經(jīng)不需另證了，關(guān)鍵是第二步，假設(shè)時(shí)，，然后由已知條件求出，那么結(jié)論就是正確的；（3）按常規(guī)方法，先求，，接著求數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)其通項(xiàng)公式的形式（它是一個(gè)等差數(shù)列所一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得），求和用乘公比經(jīng)錯(cuò)位相減法，求得，然后借助已知極限可求出極限.
試題解析：(1)，
∴．
，分別令，可得
，
(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
證明 (i)當(dāng)時(shí)，由(1)知結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，,結(jié)論成立.
(ii)假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，即.
當(dāng)時(shí)，
.
所以，，即時(shí)，結(jié)論也成立.
根據(jù)(i)和(ii)可以斷定，結(jié)論對(duì)一切正整數(shù)都成立.
(3)由(2)知，，． 于是，

，
．
所以，．