已知球的半徑為R,在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱,這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí),它的側(cè)面積最大?側(cè)面積的最大值是多少?
分析:由題意圓柱的底面為球的截面,由球的截面性質(zhì)可得出圓柱的高為h、底面半徑為r與球的半徑為R的關(guān)系,再用h和r表示出圓柱的側(cè)面積,利用基本不等式求最值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:如圖為軸截面,令圓柱的高為h,
底面半徑為r,側(cè)面積為S,
則(
h
2
2+r2=R2
即h=2
R2-r2

∵S=2πrh=4πr•
R2-r2

=4π
r2•(R2-r2)

≤4π
(r2+R2-r2)2
2
=2πR2,
取等號(hào)時(shí),內(nèi)接圓柱底面半徑為
2
2
R,高為
2
R.
點(diǎn)評(píng):本題考查球與圓柱的組合體問(wèn)題、以及利用基本不等式求最值問(wèn)題,難度一般.
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