【題目】已知橢圓 的離心率為 ,點(diǎn)(2,0)在橢圓C上. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(1,0)的直線(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓交于A、B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'.直線AB'與x軸的交點(diǎn)Q是否為定點(diǎn)?請(qǐng)說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)在橢圓C上,所以a=2. 又因?yàn)? ,所以 .
所以 .
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為: .
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),B'(x2 , ﹣y2),Q(n,0).
設(shè)直線AB:y=k(x﹣1)(k≠0).
聯(lián)立y=k(x﹣1)和x2+4y2﹣4=0,得:(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.
所以 , .
直線AB'的方程為 ,
令y=0,解得
又y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),
所以 .
所以直線AB'與x軸的交點(diǎn)Q是定點(diǎn),坐標(biāo)為Q(4,0)
【解析】(Ⅰ)由點(diǎn)(2,0)在橢圓C上,可得a=2,又 ,b= ,解出即可得出.(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),B'(x2 , ﹣y2),Q(n,0).設(shè)直線AB:y=k(x﹣1)(k≠0).與橢圓方程聯(lián)立得:(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0.直線AB'的方程為 ,令y=0,解得n,又y1=k(x1﹣1),y2=k(x2﹣1),再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,E、F、G分別為CB1、CD1、AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:FG∥面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角B﹣EF﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市擬定2016年城市建設(shè)A,B,C三項(xiàng)重點(diǎn)工程,該市一大型城建公司準(zhǔn)備參加這三個(gè)工程的競(jìng)標(biāo),假設(shè)這三個(gè)工程競(jìng)標(biāo)成功與否相互獨(dú)立,該公司對(duì)A,B,C三項(xiàng)重點(diǎn)工程競(jìng)標(biāo)成功的概率分別為a,b, (a>b),已知三項(xiàng)工程都競(jìng)標(biāo)成功的概率為 ,至少有一項(xiàng)工程競(jìng)標(biāo)成功的概率為 .
(1)求a與b的值;
(2)公司準(zhǔn)備對(duì)該公司參加A,B,C三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),A項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)2萬元,B項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)4萬元,C項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)6萬元,求競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國唐代詩人王維詩云:“明月松間照,清泉石上流”,這里明月和清泉,都是自然景物,沒有變,形容詞“明”對(duì)“清”,名詞“月”對(duì)“泉”,詞性不變,其余各詞均如此.變化中的不變性質(zhì),在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在.比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C:x2=y的圖象(如圖),過交點(diǎn)F作直線l交C于A、B兩點(diǎn),過A、B分別作C的切線,兩切線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于點(diǎn)N,拖動(dòng)點(diǎn)B在C上運(yùn)動(dòng),會(huì)發(fā)現(xiàn) 是一個(gè)定值,該定值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C: =1,以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線l:ρ(cosθ﹣2sinθ)=6.
(Ⅰ)寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)在曲線C上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線l的距離最大,并求出此最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)D為不等式組 表示的平面區(qū)域,對(duì)于區(qū)域D內(nèi)除原點(diǎn)外的任一點(diǎn)A(x,y),則2x+y的最大值是 , 的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m,n(3≤m≤n)是正整數(shù),數(shù)列Am:a1 , a2 , …,am , 其中ai(1≤i≤m)是集合{1,2,3,…,n}中互不相同的元素.若數(shù)列Am滿足:只要存在i,j(1≤i<j≤m)使ai+aj≤n,總存在k(1≤k≤m)有ai+aj=ak , 則稱數(shù)列Am是“好數(shù)列”. (Ⅰ)當(dāng)m=6,n=100時(shí),
(。┤魯(shù)列A6:11,78,x,y,97,90是一個(gè)“好數(shù)列”,試寫出x,y的值,并判斷數(shù)列:11,78,90,x,97,y是否是一個(gè)“好數(shù)列”?
(ⅱ)若數(shù)列A6:11,78,a,b,c,d是“好數(shù)列”,且a<b<c<d,求a,b,c,d共有多少種不同的取值?
(Ⅱ)若數(shù)列Am是“好數(shù)列”,且m是偶數(shù),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率等于 ,以橢圓E的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長為4 ,直線,l:y=kx+m與y軸交干點(diǎn)P,與橢圓E相交于A、B兩個(gè)點(diǎn). (Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若 =3 ,求m2的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣alnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
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