Question

（本小題滿分14分）
在數(shù)列和中，已知，其中且。
（I）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（II）證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列；
（III）設(shè)集合，試問在區(qū)間[1，a]上是否存在實(shí)數(shù)b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相應(yīng)的集合C；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）（2）略（3）b=1

（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141208114589.gif" style="vertical-align:middle;" />          …………1分
由
所以                                           …………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141208161657.gif" style="vertical-align:middle;" />                                 …………4分
所以是等差數(shù)列，                             …………4分
所以數(shù)列…………5分
（II）由已知
假設(shè)成等比數(shù)列，其中，且彼此不等，
則                         …………6分

可得矛盾。                                          …………7分
為無(wú)理數(shù)，
所以是整數(shù)矛盾。  …………9分
所以數(shù)列中的任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等比數(shù)列。
（III）設(shè)存在實(shí)數(shù)，

所以整除。                                          …………10分
（1）當(dāng)
所以                                                  …………11分
（2）當(dāng)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)整除。          …………12分
（3）當(dāng)時(shí)，

整除。                                                …………13分
綜上，在區(qū)間[1，a]上存在實(shí)數(shù)b，使成立，且當(dāng)b=1時(shí)，

…………14分