Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為蓌形，PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F分別是BC,PC的中點(diǎn)。 
（Ⅰ）求證：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析
（2）

（Ⅰ）要證AE⊥PD ，先證AE⊥平面PAD，需要證明PA⊥AE，轉(zhuǎn)化為證PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）建立坐標(biāo)系計(jì)算二面角E-AF-C的余弦值．
（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.
而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，
所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.    6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

設(shè)AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F(xiàn)（），
所以=（，-1，-a），且=(，0，0）為平面PAD的法向量，設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為θ，
由sinθ=|cos＜，＞|===    8分
解得a="2" 所以＝（,0,0），＝（，，1）
設(shè)平面AEF的一法向量為m=(x₁,y₁,z₁)，則，因此取z₁=-1，則m=(0,2,-1),    10分 因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一法向量.又=（-,3,0），
所以cos＜m,＞=.
因?yàn)槎�面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.