Question

（20）設f(x)是定義在[0, 1]上的函數，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減，則稱f(x)為[0, 1]上的單峰函數，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間．

    對任意的[0，1]上的單峰函數f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．

（I）證明：對任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，則(0，x₂)為含峰區(qū)間；若f(x₁)≤f(x₂)，則(x₁，1)為含峰區(qū)間；

（II）對給定的r（0＜r＜0.5），證明：存在x₁，x₂∈(0，1)，滿足x₂－x₁≥2r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于 0.5＋r；

（III）選取x₁，x₂∈(0, 1)，x₁＜x₂，由（I）可確定含峰區(qū)間為(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰區(qū)間內選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定一個新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x₂)的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.

（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差）

Answer 1

（20）（I）證明：設x*為f(x) 的峰點，則由單峰函數定義可知，f(x)在[0, x*]上單調遞增，在[x*, 1]上單調遞減．

    當f(x₁)≥f(x₂)時，假設x*(0, x₂)，則x₁<x₂≤x*，從而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

    這與f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰區(qū)間.

    當f(x₁)≤f(x₂)時，假設x*( x₁, 1)，則x*≤x₁<x₂，從而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

    這與f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰區(qū)間.

（II）證明：由（I）的結論可知：

    當f(x₁)≥f(x₂)時，含峰區(qū)間的長度為l₁＝x₂；

    當f(x₁)≤f(x₂)時，含峰區(qū)間的長度為l₂=1－x₁；

    對于上述兩種情況，由題意得

                          ①

    由①得 1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₂－x₁≤2r.

又因為x₂－x₁≥2r，所以

x₂－x₁=2r,     ②

    將②代入①得

    x₁≤0.5－r, x₂≥0.5＋r，               ③

    由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r．

    所以這時含峰區(qū)間的長度l₁＝l₂＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5＋r．

（III）解：對先選擇的x₁，x₂，x₁<x₂，由（II）可知

    x₁＋x₂＝1，                             ④

    在第一次確定的含峰區(qū)間為(0, x₂)的情況下，x₃的取值應滿足

    x₃＋x₁＝x₂，                            ⑤

    由④與⑤可得,

    當x₁>x₃時，含峰區(qū)間的長度為x₁．

    由條件x₁－x₃≥0.02，得x₁－(1－2x₁)≥0.02，從而x₁≥0.34．

    因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34，只需取x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32．