Question

已知冪函數(shù)f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)
（1）若f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)在（0，+∞）上是增函數(shù)，可以得到

3

2

+k-

1

2

k2＞0，再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，即可求得k的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，可以得到

3

2

+k-

1

2

k2＜0，求解即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）冪函數(shù)f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)，
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

3

2

+k-

1

2

k2＞0，
解得-1＜k＜3，
又∵k∈Z，
∴k=0，1，2，
∵f（x）為偶函數(shù)，
①當(dāng)k=0時，

3

2

+0-

1

2

×02=

3

2

，f（x）為奇函數(shù)，不符合題意；
②當(dāng)k=1時，

3

2

+1-

1

2

×12=2，f（x）為偶函數(shù)，符合題意；
③當(dāng)k=2時，

3

2

+2-

1

2

×22=

3

2

，f（x）為奇函數(shù)，不符合題意．
∴k=1，
f（x）=x²；
（2）∵冪函數(shù)f(x)=x

3

2

+k-

1

2

k2(k∈Z)，
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴

3

2

+k-

1

2

k2＜0，
解得k＜-1或k＞3（k∈Z），
∴k的取值范圍為{k∈Z|k＜-1或k＞3}．

點評：本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，冪函數(shù)的圖象及其與指數(shù)的關(guān)系，冪函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常用方法．對于冪函數(shù)的問題，關(guān)鍵是正確的畫出冪函數(shù)的圖象，根據(jù)冪函數(shù)在第一象限的圖形，結(jié)合冪函數(shù)的定義域、奇偶性，即可畫出冪函數(shù)的圖象，應(yīng)用圖象研究冪函數(shù)的性質(zhì)．對于求函數(shù)解析式的方法，一般有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行選擇合適的方法．屬于基礎(chǔ)題．