Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*都有Sn=n2+n
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再寫一式，兩式相減得a_n=2n，驗證當(dāng)n=1時，a₁=2也滿足上式，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法可求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=n²+n（n∈N^*）．①
當(dāng)n≥2時，S_n-1=（n-1）²+n-1②
①-②得a_n=2n
當(dāng)n=1時，a₁=2也滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n；
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴S_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

4n+4

．

點評：本題以數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n為載體，考查數(shù)列的通項，考查裂項法求數(shù)列的和，屬于中檔題．