Question

已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列、滿足．
（Ⅰ）當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列（各項都相等的數(shù)列），且時，求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)、都是公差不為0的等差數(shù)列，求證：數(shù)列有無窮多個，而數(shù)列惟一確定；
（Ⅲ）設(shè)，，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）由是常數(shù)列，得，進而探求數(shù)列項間的關(guān)系；（Ⅱ）將等差數(shù)列、　的通項公式代入，根據(jù)等式恒成立，求首項和公差；（Ⅲ）利用題中所給關(guān)系式對進行適當(dāng)放縮，求出上界和下界.
試題解析：
（Ⅰ）因為數(shù)列是常數(shù)列，且，所以①，因此②，①-②得，，這說明數(shù)列的序號為奇數(shù)的項及序號為偶數(shù)的項均按原順序組成公差為2的等差數(shù)列，又，，所以，因此，，即.
（Ⅱ）設(shè)、都是公差分別為，將其通項公式代入得，因為它是恒等式，所以，解得，因此.
由于可以取無窮多非零的實數(shù)，故數(shù)列有無窮多個，而數(shù)列惟一確定；
（Ⅲ）因為，且，所以，即，所以，得，因此.
又由得，，而，所以，因此
，所以，所以.