Question

【題目】函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣ （a＞1）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a1=1，an+1=ln（an+1），證明： ＜an≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞），f′（x）= ，

①當1＜a＜2時，若x∈（﹣1，a2﹣2a），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函數(shù)，

若x∈（a2﹣2a，0），則f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，0）上是減函數(shù)，

若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

②當a=2時，f′（x）≥0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，

③當a＞2時，若x∈（﹣1，0），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上是增函數(shù)，

若x∈（0，a2﹣2a），則f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）在（0，a2﹣2a）上是減函數(shù)，

若x∈（a2﹣2a，+∞），則f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函數(shù)．

（2）解：由（1）知，當a=2時，此時函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，

當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，

即ln（x+1）＞ ，（x＞0），

又由（1）知，當a=3時，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，

當x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜ ，

下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明 ＜an≤ 成立，

①當n=1時，由已知

，故結(jié)論成立．

②假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即 ，

則當n=k+1時，an+1=ln（an+1）＞ln（ +1） ，

an+1=ln（an+1）＜ln（ +1） ，

即當n=k+1時， 成立，

綜上由①②可知，對任何n∈N結(jié)論都成立．

【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調(diào)性；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握數(shù)學(xué)歸納法的定義(數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．