Question

已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)為A(-1，0)，過點(diǎn)A作兩條直線分別交雙曲線的右支于B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)兩點(diǎn)，且ABC為正三角形.

(Ⅰ)證明：B、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱；

(Ⅱ)設(shè)x₁＞2，求b的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)證：∵|AB|=|AC|,∴(x₁+x₂)²+=(x₂+1)²+

∵a=1   ∴

∴(x₁+1)²+b²(-1)=(x₂+1)²+b²(-1)

整理，得  (x₁-x₂)[(x₁+x₂)(1+b²)+2]=0 

∵x₁＞0,x₂＞0,∴(x₁+x₂)(1+b²)+2＞0

∴x₁=x₂ 

∴BC⊥x軸，根據(jù)雙曲線的對稱性，B、C關(guān)于x軸對稱 

(Ⅱ)解:(法一)根據(jù)(Ⅰ)及∠A=,設(shè)AB的方程為y=(x+1)

代入x²-=1并整理，得

(3b²-1)x²-2x-(3b²+1)=0 

∵-1,x₁是方程的兩根，且x₁＞2

∴3b²-1＞0,且-1·x₁= 

∴

∵b＞0,∴b的取值范圍為() 

(法二)根據(jù)(Ⅰ)及∠A=60°,得y₁=(x₁+1) 

∵B(x₁,y₁)在雙曲線x²-=1上，

∴ 

整理得b²=

∵x₁＞2,∴0＜1+＜3,∴＜b²＜1

∵b＞0,∴＜b＜1,∴b的取值范圍是(,1).