Question

【題目】如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，F(xiàn)B=FC，∠BFC=90°，AE= ，H是BC的中點．

（1）求證：FH∥平面BDE；
（2）求證：AB⊥平面BCF；
（3）求五面體ABCDEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，AC與BD相交于點O，則點O是AC的中點，連接OH，EO，

∵H是BC的中點，

∴OH∥AB，

∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，

∴EF∥AB．

∵EF=1，

∴OH∥EF，OH=EF．

∴四邊形EOHF是平行四邊形．

∴EO∥FH，EO=FH．

∵EO平面BDE，F(xiàn)H平面BDE，

∴FH∥平面BDE

（2）證明：取AB的中點M，連接EM，則AM=MB=1，

由（1）知，EF∥MB，且EF=MB，

∴四邊形EMBF是平行四邊形．

∴EM∥FB，EM=FB．

在Rt△BFC中，F(xiàn)B2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得 ．

∴ ．

在△AME中， ，AM=1， ，

∴AM2+EM2=3=AE2．

∴AM⊥EM．

∴AM⊥FB，即AB⊥FB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC．

∵FB∩BC=B，F(xiàn)B平面BCF，BC平面BCF，

∴AB⊥平面BCF

（3）解：連接EC，

在Rt△BFC中， ，

∴EO=FH=1．

由（2）知AB⊥平面BCF，且EF∥AB，

∴EF⊥平面BCF．

∵FH⊥平面ABCD，EO∥FH，

∴EO⊥平面ABCD．

∴四棱錐E﹣ABCD的體積為V1═ ．

∴三棱錐E﹣BCF的體積為 = ．

∴五面體ABCDEF的體積為 ．

【解析】（1）設(shè)AC與BD交于點O，則點O是AC的中點，連接OH，EO，通過證明四邊形EOHF是平行四邊形，證明FH∥平面EDB；（2）先證明出四邊形EMBF是平行四邊形，推斷出EM∥FB，EM=FB．進而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根據(jù)邊長推斷出AM2+EM2=3=AE2 ， 進而證明出AM⊥EM．然后證明出四邊形ABCD是正方形，進而推斷出AB⊥BC．最后通過線面垂直的判定定理證明出AB⊥平面BCF；（3）求出四棱錐E﹣ABCD的體積為V1═ ，三棱錐E﹣BCF的體積為 = ，即可求出五面體ABCDEF的體積．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．