Question

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足()；數(shù)列為等差數(shù)列．且，．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求滿足不等式的n的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， （2）9

【解析】

（1）根據(jù)等式，令，可求出，再當(dāng)≥時(shí)，由可得，再結(jié)合可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得和的值，進(jìn)而得到和的值，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，可求出公差d，然后得出數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再表示出，然后用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后判斷滿足不等式的n的最大值．

解：（1）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，解得．

當(dāng)≥時(shí)，，化簡(jiǎn)得．

又，所以，因此，

所以是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，即；

又，，即，，所以，，

因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，故；

（2）由（1）知是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，所以，

所以

，

故

．

若，即，即，

可得，所以，

綜上，使得的最大的的值為9．