Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

+alnx-2．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=

1

3

x+1垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f，（x），由y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=

1

3

x+1垂直，得f，（1）=-3，從而得a的值；
（2）a=-1時(shí)，f（x）=

2

x

-lnx-2，求f′（x），根據(jù)f′（x）的正負(fù)，判定f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

x

+alnx-2的定義域?yàn)椋?，+∞），∴f′（x）=-

2

x2

+

a

x

；
又曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=

1

3

x+1垂直，∴f′（1）=-

2

12

+

a

1

；
∴a=-1，即a的值是-1；
（2）由（1）知，a=-1，∴f（x）=

2

x

-lnx-2，定義域?yàn)椋?，+∞）；∴f′（x）=-

2

x2

-

1

x

=-

x+2

x2

；
∵x∈（0，+∞），∴f′（x）=-

2

x2

-

1

x

=-

x+2

x2

＜0恒成立；
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞），無增區(qū)間．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖象上某一點(diǎn)處的切線方程以及根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，是基礎(chǔ)題．