已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，連結(jié)、分別交直線于、兩點(diǎn)．試問直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進(jìn)而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關(guān)鍵是確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo).首先設(shè)直線的方程，并與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用三點(diǎn)共線確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)，再計(jì)算直線、的斜率之積，這時(shí)會(huì)涉及到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1），故     4分
（2）設(shè)，若直線與縱軸垂直，  

則中有一點(diǎn)與重合，與題意不符，
故可設(shè)直線.           5分
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去得：
          6分
     7分
由三點(diǎn)共線可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直線、的斜率為定值.                                  13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在橢圓C上，又.
（1）求焦點(diǎn)F2的軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(-2,0)，且長軸長與短軸長的比為，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知?jiǎng)訄A：，則圓心的軌跡是（   ）
A．直線　　B．圓　C．拋物線的一部分　D．橢圓

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）已知A，B，C是軌跡的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長F1P到點(diǎn)Q，使|PQ|＝|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為(　　)
A．圓B．橢圓C．雙曲線一支D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（   ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在平面坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的左焦點(diǎn)重合，點(diǎn)A在拋物線上，且，若P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（   ）
A．6B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為          ．

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