(2013•唐山一模)已知函數(shù)f(x)=
mx+nex
在x=1處取得極值e-1
(I )求函數(shù)f(x)的解析式,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)x>0 時(shí),試證:f(1+x)>f(1-x).
分析:(I)由題意知,在x=1處的導(dǎo)數(shù)為零,在x=1處的函數(shù)值為e-1.列出方程即可求出m,n,從而得出函數(shù)f(x)的解析式,再求導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)大于零單調(diào)增,導(dǎo)數(shù)小于零單調(diào)減得出結(jié)果.
(Ⅱ)利用作差法進(jìn)行證明.設(shè)g(x)=f(1+x)-f(1-x)=
1+x
e1+x
-
1-x
e1-x
=
(1+x)e-x-(1-x)ex
e
.構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex=
1+x
ex
-(1-x)ex,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,從而得出g(x)>0,從而f(1+x)>f(1-x).
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=-
mx+n-m
ex

依題意,f(1)=e-1,f′(1)=0,即
(m+n)e-1=e-1
-ne-1=0
解得m=1,n=0.…(4分)
所以f(x)=
x
ex

f′(x)=-
x-1
ex

當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0.…(6分)
函數(shù)f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增;在(1,+∞)單調(diào)遞減.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(1+x)-f(1-x)=
1+x
e1+x
-
1-x
e1-x
=
(1+x)e-x-(1-x)ex
e
.…(8分)
設(shè)h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex=
1+x
ex
-(1-x)ex,
則h′(x)=
x(e2x-1)
ex
>0,h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,h(x)>h(0)=0,…(10分)
所以g(x)>0,從而f(1+x)>f(1-x).…(12分)
點(diǎn)評(píng):考查了函數(shù)的求導(dǎo)及極值的概念,考查了利用導(dǎo)函數(shù)函數(shù)求其單調(diào)區(qū)間,還考查了利用方程求解的思想,屬于中檔題.
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a
b
滿足(
a
+2
b
)•(
a
-
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)=-6,且|
a
|=1,|
b
|=2,則
a
b
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1+i
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(I )求函數(shù)f(x)的解析式,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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