Question

已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤4），函數(shù)g（x）=[f（x）]²+f（x²），
求：（1）函數(shù)g（x）的定義域；（2）函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

解：（1）由題意f（x）定義域?yàn)閧x|1≤x≤4}，
因?yàn)?≤x≤4，所以由1≤x²≤4得-2≤x≤-1或1≤x≤2
則f（x²）的定義域?yàn)閧x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}；
而[f（x）]²以的定義域與f（x）定義域相同，為{x|1≤x≤4}
所以，g（x）的定義域?yàn)閧x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x≤2}
（2）設(shè)log₂x=t，則[f（x）]²=（1+t）²，f（x²）=1+（log₂x²）=1+2log₂x=1+2t
g（x）=t²+2t+1+1+2t=t²+4t+2
因?yàn)閤∈[1，2]，所以t∈[0，1]
g（x）=t²+4t+2=（t+2）²-2
當(dāng)t∈[0，1]時(shí)g（x）值域?yàn)閇2，7]
分析：（1）求復(fù)合函數(shù)g（x）的定義域?qū)嶋H上需要求[f（x）]²的定義域與f（x²）的定義域，求交集；
（2）通過換元法將log₂x=t轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程求值域問題．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的定義域及值域的求法，屬于中檔題，也是易錯(cuò)題．