【題目】如圖1，已知等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，.如圖2，將沿折起到的位置.

（1）求證：平面平面；

（2）給出三個(gè)條件：①；②二面角大小為；③.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的條件中，并作答：在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；

（2）選擇條件①②③之一，均需建系，算得向量以及平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，利用計(jì)算即可.

（1）由已知得，，， ，

解得，故，∴，

∴，，又∵，

∴平面，平面，∴平面平面.

（2）（�。┤粲脳l件①，由（1）得，和是兩條相交直線，∴平面.

以為原點(diǎn)，，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，設(shè)，其中，則.

平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，

則，解得，

所以不存在滿足條件.

（ⅱ）若用條件②二面角大小為，由（1）得是二面角的平面角，

∴.過作，垂足為，則平面.

在平面中，作，點(diǎn)在的右側(cè).

以為原點(diǎn)，，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，設(shè)，其中，則.

平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，

則，

解得或（舍去），所以存在滿足條件，這時(shí).

（ⅲ）若用條件③，在中，由余弦定理得：

，即，

所以，故.

過作，垂足為，則平面.

同（ⅱ）以為原點(diǎn)，，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，設(shè)，其中，則.

平面的法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，

則，.

解得，所以不存在滿足條件.

【點(diǎn)晴】

本題考查面面垂直的判定定理，以及利用向量法求線面角的問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，空間想象能力，是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=aex﹣x，

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，

（2）若關(guān)于x不等式aex≥x+b對(duì)任意和正數(shù)b恒成立，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某生物研究所為研發(fā)一種新疫苗，在200只小白鼠身上進(jìn)行科研對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

未感染病毒

感染病毒

總計(jì)

未注射疫苗

30

注射疫苗

70

總計(jì)

100

100

200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.

（Ⅰ）能否有的把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？

（Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒與注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分別抽取3只進(jìn)行病例分析，然后從這6只小白鼠中隨機(jī)抽取2只對(duì)注射疫苗情況進(jìn)行核實(shí)，求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.

附：，，

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在黨中央的正確領(lǐng)導(dǎo)下，通過全國(guó)人民的齊心協(xié)力，特別是全體一線醫(yī)護(hù)人員的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制.作為集中醫(yī)學(xué)觀察隔離點(diǎn)的某酒店在疫情期間，為客人提供兩種速食品—“方便面”和“自熱米飯”.為調(diào)查這兩種速食品的受歡迎程度，酒店部門經(jīng)理記錄了連續(xù)10天這兩種速食品的銷售量，得到如下頻數(shù)分布表（其中銷售量單位：盒）：

第天

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

方便面

103

93

98

93

106

86

87

94

91

99

自熱米飯

88

96

98

97

101

99

102

107

104

112

（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面的莖葉圖（填到答題卡上）；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為哪種速食品更受歡迎，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（3）求自熱米飯銷售量y關(guān)于天數(shù)t的線性回歸方程，并預(yù)估第12天自熱米飯的銷售量（結(jié)果精確到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：，.

附：回歸直線方程，其中，.

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【題目】某種治療新型冠狀病毒感染肺炎的復(fù)方中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，我國(guó)醫(yī)療科研專家攻堅(jiān)克難，新研發(fā)出、兩種新配方，在兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取數(shù)量相同的樣本，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，規(guī)定指標(biāo)值小于時(shí)為廢品，指標(biāo)值在為一等品，大于為特等品．現(xiàn)把測(cè)量數(shù)據(jù)整理如下，其中配方廢品有件．

配方的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值分組

頻數(shù)

（1）求，的值；

（2）試確定配方和配方哪一種好？(說(shuō)明：在統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)

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【題目】現(xiàn)有甲，乙兩種不透明充氣包裝的袋裝零食，每袋零食甲隨機(jī)附贈(zèng)玩具，，中的一個(gè)，每袋零食乙從玩具，中隨機(jī)附贈(zèng)一個(gè).記事件：一次性購(gòu)買袋零食甲后集齊玩具，，；事件：一次性購(gòu)買袋零食乙后集齊玩具，.

（1）求概率，及；

（2）已知，其中，為常數(shù)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植了兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線BD是一條觀賞小道．測(cè)量可知邊界，， ．

（1）求觀賞小道BD的長(zhǎng)及種植區(qū)域的面積；

（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，使得種植蘭花的面積有所增加，請(qǐng)?jiān)?/span>BAD上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個(gè)面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，為橢圓上位于第一象限上的點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、在直線的同側(cè)），若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，，.求證：以為直徑的圓恒過交點(diǎn)，，并求出面積的取值范圍.

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