Question

【題目】在等比數(shù)列中，已知設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且

（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）存在，且.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列通項(xiàng)公式.

（2）利用，證得數(shù)列是等差數(shù)列.

（3）由（2）求得和，假設(shè)存在符合題意的等差數(shù)列，結(jié)合求得.

（1）依題意，解得，所以.

（2）依題意，，即①，

所以②，

②-①并化簡得，

故，即.

令代入得

.

所以.所以.

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.

（3）由（2）得，所以.

所以.

假設(shè)存在滿足題意的等差數(shù)列，使得對(duì)任意，都有，設(shè)，

即對(duì)任意，都有，即③.

首先證明滿足③的：

（i）當(dāng)時(shí)，若，，則，不滿足③；

（ii）當(dāng)時(shí)，若，，則.

而，則，

所以，則，不滿足③；

所以.

令，，

所以在上遞增.

所以當(dāng)時(shí)，.

即當(dāng)時(shí)，，即.

所以當(dāng)，時(shí)，.

再證明：

（iii）若，則當(dāng)時(shí)，，，這與③矛盾.

（iv）若，同（i）可得矛盾.所以.

當(dāng)時(shí)，，滿足，所以.

綜上所述，存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè).