【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得出；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；

(3)由，C，M三點(diǎn)共線，利用向量共線得出，利用線面垂直的判定定理證明平面，由于，不平行，則不存在棱上的點(diǎn)，使得平面.

（1）在四棱錐中

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面

又因?yàn)?/span>，平面

所以平面

因?yàn)?/span>平面

所以

（2）取中點(diǎn)，連接

因?yàn)?/span>

所以

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面

因?yàn)?/span>平面

所以平面

所以

因?yàn)?/span>

所以

所以四邊形是平行四邊形

所以

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

.

設(shè)平面的法向量為，則

即

令，則.

所以.

因?yàn)槠矫?/span>的法向量，

所以

由圖可知，二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.

（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.

設(shè)，則

所以

所以

所以.

所以.

因?yàn)?/span>平面

所以平面.

所以是平面的一個法向量.

若平面，則.

所以

因?yàn)榉匠探M無解，

所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將與折起，使得平面及平面都與平面垂直．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)（，且不同時成立），使得對恒成立，則稱函數(shù)為“映像函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“映像函數(shù)”，如果是，請求出相應(yīng)的的值，若不是，請說明理由；

（2）已知函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”，且當(dāng)時，.求函數(shù)（）的反函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，試構(gòu)造一個數(shù)列，使得當(dāng)時，，并求時，函數(shù)的解析式，及的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】半圓的直徑的兩端點(diǎn)為,點(diǎn)在半圓及直徑上運(yùn)動,若將點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到點(diǎn),記點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若稱封閉曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC為一個等腰三角形形狀的空地，腰CA的長為3(百米)，底AB的長為4(百米)．現(xiàn)決定在該空地內(nèi)筑一條筆直的小路EF(寬度不計)，將該空地分成一個四邊形和一個三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S1和S2.

(1) 若小路一端E為AC的中點(diǎn)，求此時小路的長度；

(2) 求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列滿足，，.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組；

（3）若數(shù)列滿足，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，給定個整點(diǎn),其中.

（Ⅰ）當(dāng)時,從上面的個整點(diǎn)中任取兩個不同的整點(diǎn)，求的所有可能值；

（Ⅱ）從上面個整點(diǎn)中任取個不同的整點(diǎn)，.

（i）證明：存在互不相同的四個整點(diǎn)，滿足,；

（ii）證明：存在互不相同的四個整點(diǎn)，滿足,.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，沿河有A、B兩城鎮(zhèn)，它們相距千米．以前，兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里，現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境，污水需經(jīng)處理才能排放．兩城鎮(zhèn)可以單獨(dú)建污水處理廠，或者聯(lián)合建污水處理廠（在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠，用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送）．依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，建廠的費(fèi)用為（萬元），表示污水流量；鋪設(shè)管道的費(fèi)用（包括管道費(fèi)）（萬元），表示輸送污水管道的長度（千米）．已知城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B的污水流量分別為、，、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為千米．假定：經(jīng)管道輸送的污水流量不發(fā)生改變，污水經(jīng)處理后直接排入河中．請解答下列問題（結(jié)果精確到）：

（1）若在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨(dú)建廠，共需多少總費(fèi)用？

（2）考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資，設(shè)城鎮(zhèn)A到擬建廠的距離為千米，求聯(lián)合建廠的總費(fèi)用與的函數(shù)關(guān)系式，并求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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