精英家教網(wǎng)如圖，平行四邊形AMBN的周長(zhǎng)為8，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(-
3
 ， 0) ， (
3
 ， 0)．
（Ⅰ）求點(diǎn)A，B所在的曲線方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)C（-2，0）的直線l與（Ⅰ）中曲線交于點(diǎn)D，與Y軸交于點(diǎn)E，且l∥OA，求證：
|
CD
•
CE
|
|
OA
|2
為定值．
分析：（Ⅰ）由平行四邊形對(duì)邊相等，知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4，由橢圓的定義，知點(diǎn)A，B所在的曲線是橢圓；且2a=4，c=
3
，所以橢圓的方程可求；
（Ⅱ）如圖，精英家教網(wǎng)設(shè)過點(diǎn)C的直線l方程為：y=k（x+2），與橢圓方程組成方程組，得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，直線l與Y軸相交，得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得向量
CD
，
CE
的坐標(biāo)表示；又OA∥l，可設(shè)OA的方程為：y=kx，與橢圓方程組成方程組，得交點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得
OA
的坐標(biāo)表示，代入
| 
CD
•
CE
|
|
OA
|2
計(jì)算即可．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛MBN是平行四邊形，周長(zhǎng)為8，
所以兩點(diǎn)A，B到M，N的距離之和均為4，可知所求曲線為橢圓；
由橢圓定義可知，a=2，c=
3
，b=1；
所求曲線方程為：
x2
4
+y2=1（y≠0）；
（Ⅱ）由已知，直線l的斜率存在，又直線l過點(diǎn)C（-2，0），
設(shè)直線l的方程為：y=k（x+2），
代入曲線方程
x2
4
+y2=1(y≠0)，并整理得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0；
點(diǎn)C（-2，0）在曲線上，所以D（
-8k2+2
1+4k2
，
4k
1+4k2
）；
E（0，2k），
CD
=(
4
1+4k2
，
4k
1+4k2
)，
CE
=(2，2k)；
因?yàn)镺A∥l，所以設(shè)OA的方程為：y=kx；
代入曲線方程，并整理，得：（1+4k2）x2=4；
所以，A(±
2
1+4k2
，±
2k
1+4k2
)；則
|
CD
•
CE
|
|
OA
|2
=
8
1+4k2
+
8k2
1+4k2
4
1+4k2
+
4k2
1+4k2
=2
所以，
|
CD
•
CE
|
|
OA
|2
為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用；借助于圖形能幫助我們解決問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S為線段BC的四等分點(diǎn)，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知
AB
=
a
，
AD
=
b
，試用
a
，
b
表示
AC
，
BD
，
AM，
AN
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平行四邊形ABCD中，M是DC的中點(diǎn)，N在線段BC上，且NC=2BN．已知
AM
=
c
，
AN
=
d
，試用
c
，
d
表示
AB
和
AD
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•淄博二模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，點(diǎn)M在AB邊上，且AM=
1
3
AB，則
DM
•
DB
•等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知0＜α＜
π
4
，β為f（x）=cos（2x+
π
8
）的最小正周期，
a
=（tan（α+
1
4
β），-1），
b
=（cosα，2），且
a
•
b
=3．求
cos2α+sin2(α+β)
cosα-sinα
的值．  
（2）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案