Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，

∴AD⊥DC，

∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

∴PD⊥DC，

∵PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD，

∵CD平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

（2）解：∵四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點，

∴以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），

=（1，1，0）， =（0，2，﹣1），

設直線AC與PB所成角為θ，

則cosθ= = = ．

∴直線AC與PB所成角的余弦值為 ．

（3）解：A（0，0，0），M（0，1， ），C（1，1，0），B（0，2，0），

=（1，1，0）， =（0，1， ）， =（1，﹣1，0）， =（0，﹣1， ），

設平面ACM的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，2），

設平面BCM的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1，1，2），

設二面角A﹣MC﹣B的平面角為α，

則cosα= = = ．

∵二面角A﹣MC﹣B是鈍二面角，

∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導出AD⊥DC，PD⊥DC，從而CD⊥平面PAD，由此能證明面PAD⊥面PCD．（2）以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AC與PB所成角的余弦值．（3）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．